如下圖所示，已知A，B 兩點間之坐標差分量及其中誤差分別為△E±σ△E 及△N±σ △N。若σ △E=σ △N 且獨立不相關，下列哪些正確？

測量─工程測量 · 甲級 · 應用測量 · Q158

距離中誤差σd 之大小與△E、△N 之大小無關

距離中誤差σ d 之大小與△E、△N 之大小高度相關

距離中誤差σ d 之大小與AB 之方向無關

距離中誤差σd 之大小與AB 之方向高度相關

難易度分析

4 / 5

此題需透過誤差傳播定律對距離函數進行推導，分析距離中誤差與坐標差分量及方位角之間的函數關係。解題重點在於判斷在特定誤差條件下，推導公式中的變數是否被消去，進而確認該誤差值是否維持恆定，而非變動量，對於公式變數與幾何意義的連結能力要求較高。

正確答案 (複選)：①, ③

① 距離中誤差σd 之大小與△E、△N 之大小無關:根據誤差傳播定律，當 σ△E = σ△N 且獨立不相關時，距離中誤差 σd = √[(∂d/∂△E)²·σ△E² + (∂d/∂△N)²·σ△N²] = σ△E，推導結果與 △E、△N 的實際數值大小無關，僅取決於坐標分量之中誤差。
③ 距離中誤差σ d 之大小與AB 之方向無關:由誤差傳播推導可知 σd = σ△E，此結果為常數，與 AB 線之方位角或方向無關。無論線段朝向何方，只要兩坐標分量中誤差相等且獨立，距離中誤差即維持固定。

錯誤選項解析

② 距離中誤差σ d 之大小與△E、△N 之大小高度相關:此敘述錯誤。在 σ△E = σ△N 且獨立不相關的前提下，經誤差傳播定律推導後 σd 恆等於 σ△E，與 △E、△N 的座標差值大小無關，並非高度相關。
④ 距離中誤差σd 之大小與AB 之方向高度相關:此敘述錯誤。距離中誤差 σd 與 AB 方向無關，因推導過程中 (△E² + △N²)/d² = 1 恆成立，故 σd 不受方位角影響。若 σ△E ≠ σ△N 時才會與方向有關。

Learning Tip

"本題核心考點為誤差傳播定律在坐標反算距離之應用。關鍵在於理解當 σ△E = σ△N 且獨立不相關時，σd 恆等於分量中誤差，與座標值大小及線段方向均無關。常考陷阱為混淆「一般情況（σ△E ≠ σ△N 時 σd 與方向有關）」與「本題特殊條件」之差異，實務工程測量作業中應特別注意此前提條件是否成立。"