平面控制網之觀測量通常是水平距離及水平角，採用最小二乘法可平差解算坐標及其中誤差。但由於觀測量是非線性函數，因此必須利用泰勒級數予以線性化。假設一觀測量為水平距離，則其線性化之相關係數中，下列哪些正確？

測量─工程測量 · 甲級 · 控制測量 · Q213

難易度分析

4 / 5

本題要求識別水平距離觀測量在線性化過程中，對各坐標分量進行偏微分的正確表達式。解題需具備紮實的微積分偏微分運算能力，特別是針對距離公式進行鏈鎖法則轉換時，必須精確掌握分子項的座標差符號規則，以及分母項在微分後的階數變更，對於變數的歸屬判斷極具挑戰性。

正確答案 (複選)：①, ④

① :水平距離 AB̄ = √((NB - NA)² + (EB - EA)²)，對 EA（A點東坐標）求偏微分時，利用鏈鎖法則可得 ∂AB̄/∂EA = -(EB - EA)/AB̄，此為正確的線性化係數，代表距離觀測量對起點東坐標的變化率。
④ :對 NB（B點北坐標）求偏微分時，利用鏈鎖法則可得 ∂AB̄/∂NB = (NB - NA)/AB̄，此為正確的線性化係數，代表距離觀測量對終點北坐標的變化率。

錯誤選項解析

② :對 EB（B點東坐標）求偏微分時，正確結果應為 ∂AB̄/∂EB = +(EB - EA)/AB̄（正號），因 EB 在根號內為正項，微分後不應出現負號，此選項符號錯誤。
③ :對 NA（A點北坐標）求偏微分時，正確結果應為 ∂AB̄/∂NA = -(NB - NA)/AB̄（分母為一次方），此選項分母誤寫為 AB̄²，分母應為距離本身而非距離平方。

Learning Tip

"水平距離線性化的核心在於正確運用鏈鎖法則求偏微分。常考陷阱包括：① 符號正負——對起點坐標（NA、EA）求導得負號，對終點坐標（NB、EB）求導得正號；② 分母形式——偏微分後分母恆為 AB̄（一次方），絕非平方；③ 分子為對應坐標差值（NB-NA 或 EB-EA）。實務上此係數用於組成設計矩陣 A，是平差計算的基礎。"