Q112.
有關高斯最小自乘法，下列敘述哪些正確？
測量─工程測量 · 乙級 · 測繪資料分析 · Q112
難易度分析
4 / 5
本題採複選形式，要求對多個核心理論性質進行全面判別，且選項中包含易混淆的對立專業術語，增加了判斷難度。
正確答案 (複選)：①, ③, ④
- ① 高斯最小自乘法的原理為使得所有觀測量誤差的加權平方和為最小之未知數估計值即為最佳的估計結果:高斯最小自乘法的核心原理即是使所有觀測量殘差的加權平方和最小化，此數學條件可導出未知參數的最佳線性無偏估計（BLUE），為測量平差的理論基礎。
- ③ 高斯最小自乘法得到的未知數估計值具有與其期望值一致的性質:此選項描述的是最小自乘解的無偏性（Unbiasedness），即估計值的期望值與參數真值一致（E[x̂] = x），此為高斯-馬可可夫定理的重要結論之一。
- ④ 高斯最小自乘法可以評估觀測量的精度:最小自乘法可透過殘差分析與變異數共變異數矩陣推估觀測量的精度指標（如單位權標準差、參數中誤差等），為測量成果品質評估的關鍵工具。
錯誤選項解析
- ② 高斯最小自乘法得到的未知數估計值為有偏的估值:最小自乘法求得的未知數估計值為無偏估值（Unbiased Estimator），其期望值等於真值，而非有偏估值。此性質成立的前提是觀測誤差期望值為零且函數模型正確。
Learning Tip
"本題核心考點為高斯-馬可可夫定理的四大性質：無偏性、最小變異數性、線性性及一致性。常考陷阱在於混淆「有偏」與「無偏」的概念；需牢記在線性模型且觀測誤差為零均值白雜訊的假設下，最小自乘解為最佳線性無偏估計量（BLUE）。此外，單位權變異數的估算公式 σ₀² = vᵀPv / r（r 為自由度）為實務精度評定的必備公式。"
學員答題分佈
①高斯最小自乘法的原理為使得所有觀測量誤差的加權平方和為最小之未知數估計值即為最佳的估計結果0%
②高斯最小自乘法得到的未知數估計值為有偏的估值0%
③高斯最小自乘法得到的未知數估計值具有與其期望值一致的性質0%
④高斯最小自乘法可以評估觀測量的精度0%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
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