Q120.
如下圖所示，∠ABC 為直角，若測得
=40.05±0.04m，∠CAB=30°00'00"±30"，則下列敘述哪些正確？
測量─工程測量 · 乙級 · 測繪資料分析 · Q120
難易度分析
4 / 5
本題屬於複選題型，不僅要求精確的三角函數計算，還需運用誤差傳播定律進行微分運算，並判斷變數間的相關性，涉及多項複合成對的知識應用與精確計算。
正確答案 (複選)：②, ③
- ②
的誤差約為±0.02m:根據誤差傳播定律，BC = AC × sin(∠CAB)，其誤差 σ_BC = √[(∂BC/∂AC × σ_AC)² + (∂BC/∂θ × σ_θ)²]。其中 ∂BC/∂AC = sin(30°) = 0.5，∂BC/θ = AC × cos(30°) × (π/180/3600) ≈ 40.05 × 0.866 × 4.848×10⁻⁶ ≈ 0.000168 m/"。代入得 σ_BC = √[(0.5 × 0.04)² + (0.000168 × 30)²] = √[0.0004 + 0.000025] ≈ √0.000425 ≈ 0.0206m ≈ ±0.02m，故此選項正確。 - ③
=34.68m:AB 為鄰邊，AB = AC × cos(∠CAB) = 40.05 × cos(30°) = 40.05 × 0.8660254 ≈ 34.684m ≈ 34.68m，計算正確。
錯誤選項解析
- ①
=25.85m:在直角三角形 ABC 中（∠ABC 為直角），BC 為對邊，應為 AC × sin(∠CAB) = 40.05 × sin(30°) = 40.05 × 0.5 = 20.025m，而非 25.85m。此選項計算錯誤。 - ④
與
彼此獨立不相關:AB 與 BC 均由相同的觀測量（AC 長度與 ∠CAB 角度）計算而得，兩者存在共變異數（covariance），並非彼此獨立不相關。在誤差傳播分析中必須考慮其相關性。
Learning Tip
"本題考點為直角三角形三角函數計算與誤差傳播定律的應用。常考陷阱：(1) 混淆對邊與鄰邊，sin 對應對邊、cos 對應鄰邊；(2) 角度誤差需轉換為弧度（乘以 π/180/3600）才能代入微分計算；(3) 由相同觀測量導出的兩個量之間存在相關性，不可視為獨立變數。實務測量作業中，誤差傳播分析是評估測量成果精度的核心技能。"
學員答題分佈
①=25.85m0%
=25.85m0%②的誤差約為±0.02m0%
的誤差約為±0.02m0%③=34.68m0%
=34.68m0%④與彼此獨立不相關0%
與彼此獨立不相關0%此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
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