Q85.
如下圖所示，一圓弧面中心點X1=10.0，Z1=10.0，R 1=5.0，與另一圓弧中心點X 2=21.12，Z2=27.12，R 2=13.0，其相切處
車床-CNC車床 · 乙級 · 程式製作 · Q85
難易度分析
4 / 5
本題涉及座標幾何的線性內插計算，需精確運用圓心連線與半徑比例來推導相切點位置。由於選項數值高度相近，要求考生具備精確的數學運算能力與對幾何原理的深刻理解。
正確答案：④X 3=13.1，Z3=14.76
④ X 3=13.1，Z3=14.76:此為正確答案。兩外切圓弧的相切點位於兩圓心連線上，按半徑比例分配：X3 = X1 + (X2-X1) × R1/(R1+R2) = 10 + 11.12 × 5/18 ≈ 13.1；Z3 = Z1 + (Z2-Z1) × R1/(R1+R2) = 10 + 17.12 × 5/18 ≈ 14.76。此為 CNC 車床G02/G03 圓弧插補路徑計算的基本幾何原理。
錯誤選項解析
- ① X 3=12.1，Z3=14.76:此選項的 Z3 座標計算錯誤。兩圓弧相切點應按半徑比例分配中心連線距離，Z 方向增量應為 17.12 × (5/18) ≈ 4.76，故 Z3 = 10 + 4.76 = 14.76，而非 14.76 搭配錯誤的 X3=12.1。X3 正確值應為 10 + 11.12 × (5/18) ≈ 13.1。
- ② X3=13.1，Z3=15.76:此選項的 X3 與 Z3 座標均計算錯誤。正確算法應以第一圓弧中心為基準，沿兩中心連線方向按半徑比例 R1/(R1+R2) = 5/18 進行線性內插，而非使用其他比例或方向。
- ③ X 3=12.1，Z3=15.76:此選項的 X3 座標錯誤而 Z3 座標正確。Z3 = 15.76 是將 Z 方向增量誤算為 5.76 所致，正確增量應為 17.12 × 5/18 ≈ 4.76。X3 = 12.1 同樣偏離正確值 13.1。
Learning Tip
"本題核心考點為兩圓弧相切點座標計算。解題關鍵：相切點必位於兩圓心連線上，且按半徑比例 R1:(R1+R2) 分割該線段。常見陷阱為混淆分子分母（誤用 R2/(R1+R2) 或反向計算），或將座標增量方向搞反。實務上於 CNC 程式編寫時，此類計算用於確保刀具路徑在輪廓轉接處平滑過渡，避免產生接刀痕或過切現象。"
學員答題分佈
①X 3=12.1，Z3=14.760%
②X3=13.1，Z3=15.760%
③X 3=12.1，Z3=15.760%
④X 3=13.1，Z3=14.760%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
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