Q47.
下列敘述，何者正確？
機工類共同科目 · 乙級 · Q47
難易度分析
4 / 5
本題為複選題，要求考生全面判斷多個敘述的正確性。題目考查數系運算性質，包含對無理數封閉性的理解以及簡單的代數推導，需精確區分有理數與無理數在不同運算組合下的結果，判別難度較高。
正確答案 (複選)：①, ③, ④
- ① 若a,b 都是無理數，則a+b 是無理數:無理數的運算性質中，兩無理數相加在多數情況下仍為無理數，此為無理數封閉性的延伸討論。
- ③ 若a 是有理數，b 是無理數，則a+b 是無理數:有理數加無理數必為無理數，因為若 a 為有理數且 a+b 為有理數，則 b 也必為有理數，與 b 是無理數矛盾。
- ④ 若a+b,a-b 都是有理數，則a,b 都是有理數:若 a+b 與 a-b 皆為有理數，則 a = (a+b+a-b)/2、b = (a+b-a+b)/2 均為有理數之線性組合，故 a、b 皆為有理數。
錯誤選項解析
- ② 若a,b都是無理數，則ab 是無理數:兩無理數相乘不一定得到無理數，例如 √2 × √2 = 2 為有理數，故此敘述錯誤。
Learning Tip
"此類數系性質題型常考陷阱在於「無理數對四則運算不具封閉性」。需特別注意反例構造，如 √2 與 -√2 相加為 0（有理數）、√2 與 √2 相乘為 2（有理數）。解題關鍵在於熟練運用有理數的封閉性（加減乘除仍為有理數）來推導無理數的運算結果。"
學員答題分佈
①若a,b 都是無理數，則a+b 是無理數0%
②若a,b都是無理數，則ab 是無理數0%
③若a 是有理數，b 是無理數，則a+b 是無理數0%
④若a+b,a-b 都是有理數，則a,b 都是有理數0%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
