Q152.
設某函數Z=S×sina，其中S=150.11m，中誤差Ms=±0.05m；a=119°45'00"，中誤差Ma=±20.6"問Z 的中誤差Mz？
測量─地籍測量 · 甲級 · 控制測量 · Q152
難易度分析
4 / 5
此題考驗對觀測量函數誤差傳播的處理邏輯，要求考生將觀測數值精確轉換至標準計算單位，並針對複合函數進行偏微分運算與加權合成。題目不僅要求掌握誤差傳播基本公式，更考驗在多變數運算中處理幾何變數與弧度轉換的嚴謹度，屬於典型且具計算深度的專業測量試題。
正確答案：①±4.4cm
① ±4.4cm:根據誤差傳播定律，函數 Z = S × sin(a) 的中誤差 Mz = √[(∂Z/∂S)²×Ms² + (∂Z/∂a)²×Ma²]。代入 sin(119°45') ≈ 0.8682、cos(119°45') ≈ -0.4962，並將 Ma 換算為弧度 (20.6"/206265 ≈ 0.00009987 rad)，計算得 Mz ≈ ±0.044m = ±4.4cm。
錯誤選項解析
- ② ±6.8cm:此數值偏高，可能源於將角度誤差 Ma 以度分秒直接代入而未轉換為弧度制，導致 (∂Z/∂a)²×Ma² 項被嚴重放大。正確做法須將秒值除以 ρ = 206265 換算為弧度。
- ③ ±8.1cm:此數值過大，常見錯誤是將 S 與 Ms 的單位混淆（如以公分代入但最終未統一單位），或誤用餘弦值代替正弦值計算偏導數，造成誤差項疊加失真。
- ④ ±9.6cm:此為最大偏差值，通常是完全忽略誤差傳播公式而採用算術加法 (Ms + S×Ma) 或將兩項誤差線性相加而非平方和開根號所致，違反獨立觀測量之統計原理。
Learning Tip
"控制測量中誤差傳播定律為核心考點，須熟記：① 角度誤差必須換算為弧度（除以 ρ = 206265）；② 多變數函數採用全微分平方和而非線性相加；③ 注意單位統一（公尺/公分/秒/弧度）。實務上地籍測量的邊長與角度觀測精度直接影響圖根點與界址點的可靠性，計算時務必確認偏導數 ∂Z/∂S = sin(a) 與 ∂Z/∂a = S×cos(a) 的正確性。"
學員答題分佈
①±4.4cm0%
②±6.8cm0%
③±8.1cm0%
④±9.6cm0%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
