Q80.
(本題刪題)假設地球上某位置，其沿經線方向之長度比為1.21，沿緯線方向之長度比為1.11，投影後經緯線夾角為89°55'30"，則於方位角45°時，其投影後長度比為
測量─工程測量 · 乙級 · 測繪資料分析 · Q80
難易度分析
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本題屬於計算型題目，要求將多個投影參數代入特定變形公式中進行綜合運算，且涉及三角函數的精確計算，具有較高的數學推導難度。
正確答案：②1.16
② 1.16:長度比 1.16 為正確答案。依據地圖投影理論，任意方位角 α 之長度比公式為 m² = h²cos²α + k²sin²α + 2hk·cosθ·sinα·cosα，代入 h=1.21、k=1.11、θ=89°55'30"、α=45°，計算得 m≈1.16，符合 Tissot 變形橢圓 在 45° 方向之尺度變化原理。
錯誤選項解析
- ① 1.06:長度比 1.06 明顯低於正確值，此數值接近兩主方向長度比的幾何平均下限，未正確納入 方位角 45° 方向之投影變形公式 計算，低估了 經線方向長度比 1.21 對合成結果的貢獻。
- ③ 1.26:長度比 1.26 高於正確值，此結果可能誤將 角度餘弦項 cosθ 取為負值或錯誤使用 最大變形方向 之公式，導致過度放大經線方向長度比的權重，偏離 45° 方向之實際投影尺度。
- ④ 1.37:長度比 1.37 遠高於正確值，此數值接近兩主方向長度比的算術平均甚至偏向最大值，完全忽略 投影後經緯線夾角接近 90°（僅偏差 4'30"） 之微小角變形特性，屬於未套用正確公式的估算錯誤。
Learning Tip
"本題核心考點為 任意方向長度比計算公式 與 Tissot 變形橢圓 的應用。關鍵在於正確理解公式中三項的幾何意義：經線方向長度比 h、緯線方向長度比 k、以及 投影後經緯線夾角 θ 的餘弦修正項。常見陷阱包括：(1) 誤將夾角 θ 以角度偏差量代入而非實際夾角；(2) 忽略 45° 時 sinα·cosα = 0.5 的簡化特性；(3) 混淆 等角投影（經緯線正交）與 任意投影 的公式差異。實務上，此類計算為 坐標轉換與投影變形分析 的基礎，需熟練掌握三角函數運算。"
學員答題分佈
①1.060%
②1.160%
③1.260%
④1.370%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
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