Q135.
有一三角形土地，A(E,N)=(100,100)、B(E,N)=(150,200)、C(E,N)=(155,350)，若從C 做一分割線，使分割點D 在AB 線上，使三角形ACD 與三角形BCD 面積比為3：2，求
測量─工程測量 · 乙級 · 基本測量方法 · Q135
難易度分析
4 / 5
本題屬於複合計算類型，要求同時掌握定比分點、距離計算、方位角判定及向量夾角公式。由於為複選題，必須精確判定所有選項的對錯，且選項中設計了易混淆的數值陷阱，對計算精準度與觀念理解要求較高。
正確答案 (複選)：①, ④
- ① D 點坐標(130,160):因 △ACD 與 △BCD 同高（共頂點 C，底邊均在 AB 上），面積比等於底邊比 AD:DB = 3:2。利用 定比分點公式，D = A + (3/5)(B−A) = (100,100) + 0.6×(50,100) = (130,160)，計算正確。
- ④ ∠CAB=14°09'27":利用 向量夾角公式，AC→=(55,250)、AB→=(50,100)，cos∠CAB = (55×50+250×100) / (|AC|×|AB|) = 27750/(255.978×111.803) ≈ 0.96963，故 ∠CAB = arccos(0.96963) ≈ 14°09'27″，計算正確。
錯誤選項解析
- ② AD 距離為68.124m:AD 距離應為 √[(130−100)² + (160−100)²] = √(900+3600) = √4500 ≈ 67.082m，而非 68.124m。此選項數值錯誤，可能誤用了其他比例或計算過程發生偏差。
- ③ AB 之方位角為63°26'06":AB 方位角計算應為 tan⁻¹(ΔE/ΔN) = tan⁻¹(50/100) = tan⁻¹(0.5) ≈ 26°26'06″（非 63°26'06″）。選項將 ΔE 與 ΔN 顛倒計算成 tan⁻¹(2)，屬於常見的 分子分母混淆 錯誤。
Learning Tip
"此類 坐標幾何與分割計算 題型，常考陷阱包括：⑴ 方位角計算時 ΔE 與 ΔN 不可顛倒（方位角由北順時針量測）；⑵ 三角形面積分割時，同高三角形的面積比等於底邊比，可直接使用定比分點公式求解；⑶ 計算夾角時應使用 向量內積公式 cosθ = (A→·B→)/(|A→||B→|)，注意坐標增量的正負號與象限判斷。實務上建議以計算機驗算各邊長與角度，確保閉合精度符合 工程測量規範。"
學員答題分佈
①D 點坐標(130,160)0%
②AD 距離為68.124m0%
③AB 之方位角為63°26'06"0%
④∠CAB=14°09'27"0%
此答題分佈是根據學員在 LongePass 模擬考等實際作答紀錄計算而成。與考友分享這道歷屆試題與詳細解析！
相似類型題目
某三角形ABC 三頂點之(N,E)坐標分別為A(10.00m,10.00m)、B(20.00m,20.00m)、C(10.00m,30.00m)，則下列敘述哪些正確？
在一地圖上，量度出三點坐標是(20,0)、(0,40)、(30,50)，則此三點所圍之面積是
測線AB 長100m，方位角為150°，若A 點之EN 座標為(1000m，500m)，E 表橫座標，N 表縱座標，則B 點之(E，N)座標應為
已知A、B 兩點(E，N)座標為A(0.000m，0.000m)；B(200.000m，300.000m)，E 表橫座標，N 表縱座標，則AB 之方位角等於
已知A 及B 兩點之三維坐標(E,N,H)分別為(251200.00,2655300.00,51.25)及(251260.00,2655380.00,53.85)，單位為公尺，地形圖之等高距為1 公尺，假設A 及B 兩點間坡度均勻變化，則等高線與AB 連線之交點之平面坐標分別為