某段距離之真值為49.984m，現以鋼捲尺測量此段距離6 次，讀數如下：49.988、49.986、49.981、49.980、49.988、49.979，請問該鋼捲尺6 次測量距離平均值的中誤差為

測量─工程測量 · 乙級 · 測繪資料分析 · Q76

±1.55mm

±2.55mm

±1.69mm

±4.55mm

難易度分析

4 / 5

本題屬於計算型題目，要求考生掌握誤差理論中的多個計算步驟，且需精確區分單次觀測與平均值兩種不同的中誤差概念，計算過程較為複雜，容易在公式套用或數值運算上產生失誤。

正確答案：①±1.55mm

① ±1.55mm:平均值的中誤差計算採用貝塞爾公式，先求單次觀測值之標準差 σ = √(Σv²/(n-1)) ≈ 3.77mm，再以 σ_mean = σ/√n ≈ ±1.55mm，此為測量平差中評估平均值精度的標準方法。

錯誤選項解析

② ±2.55mm:±2.55mm 的數值偏高，可能是誤將殘差平方和計算錯誤或混淆了單次觀測中誤差與平均值中誤差的關係，正確應除以 √n 而非直接使用單次測量精度。
③ ±1.69mm:±1.69mm 接近但略高於正確值，可能是計算過程中四捨五入誤差累積所致，或未嚴格遵循貝塞爾修正公式 (n-1) 而導致微小偏差。
④ ±4.55mm:±4.55mm 明顯過大，此數值接近單次觀測值的中誤差而非平均值的中誤差，混淆了 σ 與 σ_mean 的概念是常見錯誤。

Learning Tip

"本題核心考點為平均值中誤差與單次觀測中誤差的區別。計算時須注意：單次觀測標準差 σ = √(Σv²/(n-1))，而平均值的中誤差為 σ_mean = σ/√n。常考陷阱在於混淆兩者，或誤用 n 而非 (n-1) 計算標準差。實務上，測量次數 n 愈大，平均值的中誤差愈小，精度愈高，此為誤差傳播理論的基本應用。"